Андрэй Салавей з'яўляецца выхаванцам бярозаўскай ДЮСШ нумар 1. Прафесійную кар'еру футбаліст пачаў у брэсцкім "Дынама", затым гуляў за жодзінскае "Тарпеда-БелАЗ", "Слонім-2017" і гомельскі "Лакаматыў". У мінулым сезоне выступаў за футбольны клуб "Гомель", у складзе якога фінішаваў чацвёртым у чэмпіянаце краіны, стаў лепшым іграком Беларусі-2021 і лепшым нападаючым вышэйшай лігі. Таксама форвард заняў другое месца ў спісе бамбардзіраў мінулага чэмпіянату, забіўшы 18 мячоў.
За нацыянальную зборную Беларусі Андрэй Салавей дэбютаваў у чэрвені 2021 года ў таварыскім матчы супраць Азербайджана (1:2), выйшаўшы на замену ў другім тайме. Усяго за галоўную каманду краіны футбаліст правёў 4 матчы